Màxim o mínim

De vegades, pot ser útil saber com varia una funció contínua en un interval concret. Quan es recorre un interval d'esquerra a dreta, la funció pot o no créixer. Si és així, es diu que la funció és creixent; en cas contrari, és decreixent. Ara bé, hi ha punts on la funció passa de creixent a decreixent i viceversa. En el primer cas es diu que en aquest punt la funció assoleix un màxim i en l'altre cas, un mínim. Es proposa fer un full de càlcul que indagui, concretant l'interval, els possibles punts que poden ser màxim o mínim de la funció Y= (X^2 - 4)^2+1.

Aquest full podria ser:

Consideracions prèvies

Aquest exemple mostra un sistema molt rudimentari de calcular màxims i mínims d'una funció. L'anàlisi matemàtica ofereix eines basades en la derivació de la funció i la resolució d'equacions que permeten una aproximació més rigorosa.

L'expressió que hauria de resoldre l'exercici hauria de ser semblant a:

"si es verifica la condició de màxim (o mínim), escriu Màxim (o Mínim) si no, escriu un espai en blanc":

És a dir,

SI (condició màxim; "Màxim"; " ") o
SI (condició mínim; "Mínim"; " ")

La condició de màxim (o mínim) es pot concretar en aquell punt on la funció pren un valor més gran (o més petit) que el valor que pren en els punts immediatament anteriors i posteriors.

Mitjançant la funció Y es fa la unió de diferents expressions. La seva sintaxi és:

Y( cond1; cond2; cond3; ...; cond-n)

És a dir, la condició final és aquella que verifica simultàniament les condicions cond1, cond2, ..., cond-n.

Així, en les condicions de la pràctica seria:

SI (Y(cond1;cond2); "Màxim"; " ") o
SI (Y(cond1;cond2); "Mínim"; " ")

AJUDA Busqueu informació sobre el tema Y función.

Cal introduir un primer valor de l'interval. En variar-lo i fent més petit l'increment, ens anirem apropant al màxim o al mínim tant com vulguem. Cal tenir en compte que estem treballant amb aproximacions.

Desenvolupament de la pràctica

  • Seleccioneu el primer full del llibre. Anomeneu-lo Max_Min.
  • Desactiveu la visió de la quadrícula.
  • Dimensioneu les columnes per tal que A tingui 22 unitats, B i C 10 i D i E 8.
  • Introduïu els rètols de la primera columna i de la setena fila.
  • Introduïu a la cel·la B2 la definició de la funció a representar Y=(X^2 - 4)^2+1.
  • Introduïu a la cel·la B4 el valor -2,5 com extrem inferior de l'interval a analitzar.
  • Introduïu a la cel·la B5 el valor 0,5 com increment per definir la seqüència de valors on serà avaluada la funció.
  • Situeu a la cel·la B8 el valor fixat com primer valor de l'interval mitjançant la fórmula =B4.
  • Introduïu a la cel·la B9 la fórmula =B8+B$5 per tal d'obtenir la segona abscissa on la funció serà avaluada.
  • Copieu la fórmula de la cel·la B9 sobre el rang B10:B20.
  • Introduïu a la cel·la C8 la expressió =(B8^2 - 4)^2+1. Per tal de calcular la imatge de la primera de les abscisses. Copieu aquesta expressió sobre el rang C9:C20.
  • Observeu la taula de valors de la funció obtinguda per un conjunt d'abscisses prefixat.

    Interessa situar a les columnes D i E les fórmules que permetin detectar els possibles mínims i màxims de la funció. Per fer-ho:

  • Introduïu a la cel·la D9 la fórmula =SI(Y(C8>C9;C10>C9);"Mínim";""). Aquesta expressió detecta un possible mínim de la funció si el valor de la cel·la C9 és inferior als valors anterior (C8) i posterior (C10). Copieu la fórmula sobre el rang D10:D19.
  • De manera anàloga introduïu a la cel·la E9 l'expressió =SI(Y(C8<C9;C10<C9);"Màxim";"") per tal de detectar els possibles màxims. Copieu la fórmula sobre el rang E10:E19.
  • Doneu un fons groc clar al rang A1:E20.
  • Dibuixeu una vora de color negre al rang A1:E20.
    • La funció introduïda presenta un possible màxim per als valors de les abscisses -2 i 2 i un possible màxim per al valor 0. Aquesta mecànica és, només, aproximada. Si volem obtenir amb major precisió al valor de l'abscissa corresponent a un màxim o mínim cal modificar els valors de les cel·les B4 i B5 per tal d'analitzar amb més cura l'interval on, en principi, es troba aquest extrem relatiu (màxim o mínim).

    • Si volem analitzar una altra funció diferent serà necessari canviar el contingut del rètol de la cel·la B2 i el contingut de les fórmules de les cel·les C8:C20.


Enrigistreu el full amb el format habitual.

Noviembre de 2.008